[미분 - 수치 미분] 수치 미분

⭐ 정의

도함수를 구하기 어려운 상황에서, 함수의 값들을 이용해,
미분 계수의 근사치를 계산하는 방법

 

 

여기서, 컴퓨터는 h가 0이될 수 없으므로, 0에 근사한 값으로 h를 보내는 미분

 

🎯 중앙 차분

 

컴퓨터서 0에 근사한 값은 결국 0.xxxxx 이런식으로 부동소수 타입일텐데,

결국 그건 0이 아니고, 그건 오차가 있다는 뜻이다.

 

오차가 있을 수 밖에 없다면, 오차를 줄여가는 방법을 찾아봐야하는데,

그 대표적인 방법이 바로 중앙 차분이다.

 

왜 오차가 주냐면, 앞뒤 값을 같이 보기때문에 오차가 많이 개선된다.

 

실제 코드와 그래프를 살펴보면 조금 더, 이해가 될 것 같다.

 

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 1. 대상 함수 정의: f(x) = x^2
def f(x):
    return x**2

# 2. 수치미분 함수들
def forward_diff(f, x, h):
    return (f(x + h) - f(x)) / h

def backward_diff(f, x, h):
    return (f(x) - f(x - h)) / h

def central_diff(f, x, h):
    return (f(x + h) - f(x - h)) / (2 * h)

# 설정
x_target = 2.0  # 미분값을 구할 지점
h = 0.5         # 오차를 보여주기 위해 h를 크게 설정
x_range = np.linspace(1, 3, 100) # 그래프 범위

# 그래프 그리기
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(x_range, f(x_range), 'k-', label="f(x) = x^2", linewidth=2) # 원본 함수

# 각 방식의 기울기(m) 계산
m_forward = forward_diff(f, x_target, h)
m_backward = backward_diff(f, x_target, h)
m_central = central_diff(f, x_target, h)
m_exact = 4.0 # 실제 미분값 (2x 이므로 2*2=4)

# 접선 그리기용 함수
def tangent_line(x, x_t, m, f_t):
    return m * (x - x_t) + f_t

f_t = f(x_target)
plt.plot(x_range, tangent_line(x_range, x_target, m_forward, f_t), '--', label=f'Forward (m={m_forward})')
plt.plot(x_range, tangent_line(x_range, x_target, m_backward, f_t), '--', label=f'Backward (m={m_backward})')
plt.plot(x_range, tangent_line(x_range, x_target, m_central, f_t), 'r-', label=f'Central (m={m_central})', linewidth=2)
plt.plot(x_target, f_t, 'ko') # 타겟 지점 점 찍기

plt.title(f"Numerical Differentiation Comparison (h={h})")
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

 

 

x = 2.0 근처 오차가 중앙 차분이 가장 적은걸 눈으로 확인할 수 있다.

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출처